错位排列公式(错位排列)

2023-08-23 05:08:11来源:互联网


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1、设1,2,...,n的全排列b1,b2,...,bn的集合为A,而使bi=i的全排列的集合记为Ai(1<=i<=n),则Dn=|A|-|A1∪A2∪...∪An|.所以Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|.注意到|Ai|=(n-1)!,|Ai∩Aj|=(n-2)!,...,|A1∩A2∩...∩An|=0!=1。

2、由容斥原理:Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|=n!-C(n,1)(n-1)!+C(n,2)(n-2)!-C(n,3)(n-3)!+...+(-1)^nC(n,n)*0!=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)。

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